“沈奇出的这道题,难点不是给出答案,而是证明答案的过程。”谭副会长说到。
刘干事接着道:“没错,这道题的二维情况非常简单,我们可以考虑最外一圈的4n-1个点,如果没有直线x=n或y=n,那么每条直线最多过这4n-1个点中的两个,故至少需要2n条直线。如果有直线x=n或y=n,也不难得出答案,还是2n。所以二维的最终结果就是2n。”
“但是将这种方法推向三维的时候,麻烦就出现了。三维情况用来覆盖的不是直线而是平面,平面有三个自由变量,而且不容易选取标志点来进行考察。不过我们仍然可以很快的判断出,三维的最终结果一定是3n。任何一个有过竞赛经历的高中生,凭借直觉都能推算出3n这个答案,然而要严谨证明3n个平面,就非常困难了。”刘干事望向黑板,谈了谈他的看法。
“结论显而易见,证明这个结论难于登天。”孔干事走到黑板前,取下老花眼镜再次审视题干:“各位,你们说该怎么证明最少需要3n个平面?”
“逻辑游戏。”沈奇笑道,他再次拿起粉笔,准备给出证明。
刘干事撸起袖子,看来已有思路:“这道题呢,最关键的一点是将这个看似组合计算的设定转化为纯代数问题。只要跳出这个思维局限,立马海阔天空。”
“刘干事果然是行家,看来没我什么事了。”沈奇不会忘记,刘干事曾是他在奥数集训队时的代数课教练。
“沈奇,这题我们收下了,谢谢你,这是非常棒的一道奥数题。”谭副会长说到。
“那行,我先告辞,楼上有个交流会需要我参加。”沈奇离开会议室,去到楼上的学术报告大厅。
几位年轻的数学工作者汇报了他们最新的研究成果,沈奇作为嘉宾之一进行了点评。
学术报告会结束后,沈奇溜达到楼下,发现谭副会长、刘干事、孔干事三人呆在会议室还没走。
黑板上写满了数学符号,沈奇快速浏览一遍,发现他出的这道奥数题被完美证明。
沈奇赞不绝口:“非常漂亮的证明,将每个平面表示成一个三元一次多项式的形式,然后将这些多项式都乘起来,那么需要证明的只有一点,就是乘出来的多项式至少具有3n次。干的漂亮,刘干事。”
然而刘干事愁眉苦脸的敲了敲手表:“我和老谭、老孔三人用了两个小时完成证明,我们不认为有高中生能在规定答题时间内证明3n。”
“不做不知道,一做吓一跳,这题是IMO压轴级别的,放在CMO赛场不太合适。”谭副会长总结道。
“如果没有一位中国奥数选手能在国决赛场上证明这题,那也太打击青少年数学爱好者的积极性了。”
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